Persamaan Diferensial Eksak

• jika z = f(x,y), perubahan kecil z sebesar dx pada y konstan
dinyatakan sebagai dz = (∂z/∂x)y dx
• jika z = f(x,y), perubahan kecil z sebesar dy pada x konstan dinya-
takan sebagai dz = (∂z/∂y)x dy
Perubahan z dengan merubah secara serentak dx dan dy dinyatakan:
dz = (∂z/∂x)y dx + (∂z/∂y)x dy (1.1)
Jika : (∂z/∂y)y = M(x,y)
(∂z/∂y)x = N(x,y)
Maka persamaan (1.1) menjadi :
dz = M(x, y) dx + N(x,y) dy (1.2)
Differensial tersebut dikatakan eksak jika dipenuhi :
(∂M/∂y)x = (∂N/∂x)y atau (1.3)
(∂2z/∂ydx) = (∂2z/∂x∂y) (1.4)
Persamaan (1.3) dan (1.4) ditafsirkan sebagai : variabel z sebagai
fungsi x dan y jika berubah sebesar dz sebagai akibat perubahan dx
dan dy akan mempunyai harga yang sama jika diubah dengan cara :
- dx dulu (pada y konstan) , kemudian dy (pada x konstan) atau
- dy dulu (pada x konstan), kemudian dx (pada y konstan)

Aturan Rantai Siklis

Dari persamaan (1.1):
dz = (∂z/∂x)y dx + (∂z/∂y)x dy
Pada perubahan yang sangat kecil pada y konstan (dy = 0) menjadi :
dzy = (∂z/∂x)y dxy (1.5)
Bila dibagi dengan dzy didapat :
1 = (∂z/∂x)y∂xy/∂zy = (∂z/∂x)y(∂x/∂z)y
Sehingga :
(∂z/∂x)y = 1 / (∂x/∂z)y (1.6)
Dari persamaan (1.1) pada z konstan (dz=0) diperoleh :
0 = (∂z/∂x)y dx + (∂z/∂y)x dy
Bila dibagi dengan dyz didapat :
0 = (∂z/∂x)y (∂x/∂y)z + (∂z/∂y)x (1.7)
(∂z/∂x)y (∂x/∂y)z = -(∂z/∂y)x = -1 (∂z/∂y)x = -1 / (∂y/∂z)x
Atau :
(∂z/∂x)y(∂x/∂y)z (∂y/∂z)x = -1
Persamaan 1.8 disebut aturan siklis yang banyak berguna dalam penye-
lesaian termodinamika :
- (∂z/∂y)x = - (∂z/∂x)y (∂x/∂y)z
- (∂z/∂y)x = -(∂z/∂x)y / (∂y/∂x)z
- (∂z/∂y)x = - (∂x/∂y)z (∂x/∂z)y